Quantos anos o Brasil leva para dobrar a renda?
Quase 80 anos, no ritmo de 1980 para cá. A conta sai de um atalho que todo economista faz de cabeça, e o atalho sai do cálculo.
A renda por pessoa do Brasil cresceu em média 0,9% ao ano desde 1980. Pela regra do 70, o tempo para dobrar é 70 dividido pela taxa de crescimento: 70 ÷ 0,9 dá quase 80 anos. A Coreia do Sul, crescendo uns 5% ao ano, dobra a renda em 14 anos. Um ponto de crescimento parece detalhe, mas vira décadas.
Em 1980, o Brasil era mais rico que a Coreia
Pelos dados do Banco Mundial, em 1980 o PIB por pessoa do Brasil era de cerca de US$ 6.500, contra uns US$ 4.100 da Coreia do Sul, em dólares de valor constante. Em 2024, a situação tinha se invertido: o sul-coreano médio tinha uns US$ 37.000, quase quatro vezes os cerca de US$ 9.600 do brasileiro.
Como um país que estava atrás passa tão longe na frente em 44 anos? A resposta está na taxa de crescimento, e numa propriedade do crescimento que a nossa intuição costuma subestimar.
Três taxas que parecem parecidas
Entre 1980 e 2024, a renda por pessoa cresceu, em média por ano:
| País | Crescimento médio ao ano |
|---|---|
| Brasil | 0,9% |
| Coreia do Sul | 5% |
| China | 8% |
Olhando assim, a diferença parece de alguns pontos percentuais. Mas crescimento não se soma: ele se multiplica.
Crescimento é juro composto
Se uma renda de 100 cresce 5% num ano, vira 105. No ano seguinte, os 5% incidem sobre 105, não sobre 100, e ela vira 110,25. Cada ano multiplica o resultado do anterior. É o mesmo mecanismo dos juros compostos de uma aplicação ou de uma dívida.
Por isso a pergunta mais útil não é "quanto cresceu", e sim "em quanto tempo dobra". A conta exata usa logaritmo. Mas existe um atalho.
O atalho: 70 dividido pela taxa
Aplicando aos três países:
A conta exata para o Brasil, com logaritmo, dá 78,2 anos. O atalho erra por meses.
E os dados confirmam o atalho. De 1980 a 2024, a renda da Coreia foi multiplicada por quase 9, o que é dobrar três vezes seguidas (2 × 2 × 2 = 8). A do Brasil foi multiplicada por 1,5: ainda não dobrou nenhuma vez.
Nenhuma dobra em 44 anosDe onde sai o 70
O número não é mágico. Ele vem do logaritmo de 2, que vale cerca de 0,693. Escrito em porcentagem, vira 69,3, arredondado para 70.
Por que o logaritmo aparece? Porque a conta exata do tempo para dobrar é o logaritmo de 2 dividido pelo logaritmo de (1 + taxa). Essa segunda parte é difícil de fazer de cabeça. Mas, para taxas pequenas, o logaritmo de (1 + x) é quase igual ao próprio x.
Perto de zero, a curva do logaritmo é praticamente uma reta. Trocar a curva por essa reta é a aproximação de Taylor, e é ela que transforma a conta exata em "70 ÷ taxa".
Quando o atalho erra
Como a reta só acompanha a curva perto de zero, o atalho piora com taxas altas. Com 15% ao mês, como no rotativo do cartão, a regra do 70 dá 4,6 meses para a dívida dobrar. A conta exata dá 4,9. Para crescimento de países, que fica em poucos por cento ao ano, o atalho é excelente.
Um ponto a mais muda décadas
A lição prática é que diferenças pequenas na taxa viram diferenças enormes no tempo. Se o Brasil crescesse 2% ao ano em vez de 1%, dobraria a renda em 35 anos, e não em 70.
A mesma regra vale para tudo que cresce em porcentagem: preços com inflação, dinheiro investido, população.
Fechando a conta
Um investimento rende 7% ao ano. Em quanto tempo, mais ou menos, o dinheiro dobra? E se a inflação for de 4% ao ano, em quanto tempo os preços dobram?
VER RESPOSTA
Pela regra do 70: o investimento dobra em 70 ÷ 7 = 10 anos. Os preços dobram em 70 ÷ 4 ≈ 17,5 anos. (Números de exemplo.)
A lista de e-mails do assimetria abre em breve.
Perguntas frequentes
Por que alguns livros falam em regra do 72?
Porque 72 tem mais divisores (2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) e facilita a conta de cabeça. O 70 fica mais perto do valor exato, 69,3. Os dois são aproximações do mesmo logaritmo de 2.
A regra serve para dívidas?
Serve, com cuidado. Para juros baixos ela é precisa. Para juros altos, como os do rotativo do cartão, ela subestima um pouco o tempo para a dívida dobrar.
Fontes
- Banco Mundial, World Development Indicators: PIB per capita em dólares constantes, via FRED. Brasil 1980 = 6.473; 2024 = 9.567. Coreia do Sul 1980 = 4.140; 2024 = 37.048. China 1980 = 436,6; 2024 = 13.119. Taxas médias calculadas a partir desses valores.
- Sydsæter, Hammond e Strøm, Essential Mathematics for Economic Analysis, §4.9 (crescimento exponencial) e §7.4 (aproximação ln(1 + x) ≈ x e regra do 70).